گاهی اوقات لازم است که ما در مسائلی که با آن‌ها روبه‌رو می‌شویم، به دنبال یافتن میزان تغییرات کمیت‌ها، تقریب توابع پیچیده، میزان ماکسیمم یا مینیمم کمیت‌ها و توضیح رفتار توابع مختلف باشیم. ما برآنیم تا در این مقاله بتوانیم تا حد خوبی شمارا با کاربرد مشتق آشنا کرده و در هر مورد مثالی بیاوریم تا بتوانیم کاربرد مشتق در زندگی روزمره‌مان را نیز درک کنیم. این مقاله برای افراد مختلف اعم از دانش آموزان، دانشجویان و… قابل استفاده است و در این مقاله از فنولوژی، فرض را بر این می‌گذاریم که مخاطبان‌مان با مشتق‌گیری، آشنایی لازم را دارند. همچنین منظورمان را در هر بخش می‌خواهیم با آوردن مثال و جواب‌هایشان توضیح دهیم.
میزان تغییرات کمیت‌ها
اولین کاربرد مشتق در زندگی، بررسی میزان تغییرات یک کمیت است. یک پلیس در نزدیکی یک بزرگراه ایستاده است و با تفنگ رادار، سرعت‌های غیرمجاز را کنترل می‌کند. او تفنگ را به سوی اتومبیلی که هم‌اکنون از جلویش رد شده هدف می‌گیرد و وقتی تفنگ زاویه‌ی ۴۵ درجه با جهت بزرگراه دارد، می‌بیند که فاصله‌ی بین اتومبیل و تفنگ به میزان ۱۰۰ کیلومتر بر ساعت افزایش دارد. سرعت اتومبیل چقدر است؟
مثال کاربرد مشتق در زندگی برای یافتن تغییرات
می‌دانیم طبق گفته‌ی مسئله، فاصله‌ی پلیس تا جاده ثابت است و این اتومبیل است که در حرکت است و در حال فاصله گرفتن از پای عمود از محلی که پلیس ایستاده می‌باشد. اگر فاصله‌ی پلیس تا جاده را k که عددی ثابت است بگیریم و فاصله‌ی متغیر ماشین از پای عمود وارد از پلیس بر جاده را x و فاصله‌ی اتومبیل و پلیس را y بگیریم، طبق قضیه‌ی فیثاغورس برای مثلث‌های قائم الزاویه داریم $x^{^{2}}+k^{^{2}}=y^{^{2}}$. از فیزیک نیز می‌دانیم سرعتی که اتومبیل دارد، برابر با $\frac{dx}{dt}$ می‌باشد. حال اگر از طرفین معادله‌ی فیثاغورسی بالا نسبت به زمان مشتق بگیریم، داریم:
$\frac{d}{dt}(x^{۲}+k^{۲})=\frac{d}{dt}(y^{۲})\Rightarrow ۲x.\frac{dx}{dt}=۲y.\frac{dy}{dt}$
در نتیجه طبق توضیح بالا، سرعت اتومبیل که برابر با $\frac{dx}{dt}$ در هر لحظه است، خواسته‌ی مسئله است که ما برای یافتن آن نیاز به یافتن y و x و همچنین $\frac{dy}{dt}$ داریم. طبق گفته‌ی سوال می‌توان دریافت که $\frac{dy}{dt}=۱۰۰ km/h$ و نیز با داده‌های زاویه ای مسئله و قائم الزاویه بودن مثلثی که بالا توضیح دادیم، می‌توان دریافت که اضلاع قائم مثلث برابر هستد و در نتیجه وتر مثلث برابر با $\sqrt{2}$ برابر اضلاعش است. پس داریم:
$x=k , y=\sqrt{۲}.k$
با جایگذاری در معادله‌ی بالا و اینکه $\frac{dy}{dt}=۱۰۰ km/h$ داریم:
$۲.k.\frac{dx}{dt}=۲.\sqrt{۲}.k.۱۰۰\Rightarrow \frac{dx}{dt}=۱۰۰\sqrt{۲}\approx ۱۴۱.۴۲$
در نتیجه جواب مسئله‌ی ما تقریبا برابر با ۱۴۱.۴۲ می‌باشد.
تقریبات خطی
یکی دیگر از موارد کاربرد مشتق در زندگی در تقریبات خطی می‌باشد. از تعریف مشتق در نقطه‌ای مانند x=a می‌دانیم ${f}'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ در نتیجه می‌توان گفت ${f}'(a)(x-a)\approx f(x)-f(a)$ و در نتیجه $f(a)+{f}'(a)(x-a)\approx f(x)$. اگر به جای x قرار دهیم $a+\Delta x$ آنگاه خواهیم داشت $f(a+\Delta x)\approx f(a)+{f}'(a).\Delta x$. این برای مواقعی که ما می‌خواهیم مقدار مجهول تابع را با نقاطی که مقادیر آن‌ها را می‌دانیم (مانند x=a) تا حد خوبی تقریب بزنیم.
مثال تقریبات خطی از کاربرد مشتق
مقدار تابع سینوس در نقطه‌ی x=۰.۰۰۱ را با استفاده از تقریب خطی تابع، تقریب می‌زنیم.
می‌دانیم مشتق تابع $sin(x)$ برابر با $cos(x)$ می‌باشد و با استفاده از عبارتی که در بالا به‌دست آوردیم، اگر a=۰ قرار دهیم و همچنین $\Delta x=0.001$ بگیریم، با در نظر گرفتن $f(x)=sin(x)$ خواهیم داشت:
$f(0+0.001)\approx f(0)+{f}'(0)(0.001)\Rightarrow sin(0.001)\approx 0+cos(0).0.001$
در نتیجه خواهیم داشت:
$sin(0.001)\approx 1\times 0.001= 0.001$
این تقریبی که در اینجا آوردیم، تقریب خطی توابع بود؛ زیرا درجه‌ی عبارتی که در آن به کار می‌بریم برابر یک است. حالت کلی‌تر تقریب‌های توابع، توسط چندجمله‌ای‌های تیلور انجام می‌شود.
کاربرد مشتق در یافتن اکسترمم‌های توابع
هرگاه داشته باشیم $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ آنگاه مقادیر اکسترمم تابع $f$ اعم‌از ماکسیمم و مینیمم مطلق و یا ماکسیمم و مینمم موضعی در نقاطی اتفاق می‌افتد که آن نقاط، نقاط بحرانی یا نقاط منفرد و یا نقاط انتهایی $f$ (یعنی همان a و b) باشند.
نقاط بحرانی، نقاطی هستند که مشتق تابع در آن نقاط برابر صفر می‌باشد؛ همچنین نقاط منفرد به نقاطی از تابع گفته می‌شود که مشتق تابع در آن نقاط تعریف نشده باشد. در این مباحثی که می‌آوریم، فرض بر این است که خواننده حداقل با تعاریف مربوط به آزمون مشتق اول و دوم آشنا می‌باشد.
مثال یافتن اکسترمم توابع
نشان دهید برای هر $۰\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ داریم $sin(\theta )\geq \frac{2}{\pi}\theta $.
پاسخ:
اگر تابع $f$ را به صورت $f(x)=sin(x)-\frac{2}{\pi}x$ در نظر بگیریم، می‌دانیم تابعی پیوسته است. حال اگر ثابت کنیم که در بازه‌ی مشخص شده‌ی سوال، داریم $f(x)\geq 0$ آنگاه حکم مسئله ثابت می‌شود. همچنین می‌دانیم $f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0$. حال اگر مشتق دوم این تابع را بررسی کنیم، می‌بینیم که ${f}”(x)=-sin(x)$ و چون بازه‌ی مدنظر مسئله، $۰\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ می‌باشد، مشتق دوم در این بازه همواره منفی می‌باشد (چرا؟) و به این خاطر تقعر منحنی در این بازه تغییری ندارد. حال طبق آزمون دوم مشتق می‌دانیم که چون مشتق دوم منفی است، تابع دارای ماکسیمم مطلق در این بازه می‌باشد. در نتیجه طبق آزمون مشتق اول، مشتق در نقطه‌ی ماکسیمم، صفر می‌باشد. چون داریم ${f}'(x)=cos(x)-\frac{2}{\pi }$ یعنی $x=c$ در این بازه یافت می‌شود که ${f}'(c)=cos(c)-\frac{2}{\pi}=0$. در نتیجه به خاطر منفی بودن مشتق دوم و در نتیجه نزولی بودن تابع مشتق اول، در $۰\leq x< c$ تابع مشتق، مثبت و در نتیجه طبق آزمون مشتق اول، تابع $f$ صعودی است و در $c< x\leq \frac{\pi}{2}$ مشتق منفی و در نتیجه تابع $f$ نزولی است. حال، چون گفتیم در نقطه‌ی $x=c$ با ماکسیمم تابع در این بازه طرف هستیم، در نتیجه طبق نتیجه‌های بالا در هر دو بازه‌ی قبل و بعد از $x=c$ تابع مثبت است و یعنی داریم $f(x)\geq 0$ که همان حکم مسئله‌مان بود.
همانطور که در مثال بالا نیز مشاهده کردید، یکی از کاربردهای مشتق، علاوه بر کاربردهای مشتق در زندگی، برای تعیین صعودی یا نزولی بودن توابع روی بازه‌های مختلف است که در مسائل مختلف می‌تواند به کمک ما بیاید.
مثال‌ها و تمرینات بیشتر از کاربرد مشتق در زندگی
مثال کاربردی
اگر $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ مشتق پذیر باشد و $f(0)=0$ و ${f}'(x)$ تابعی نزولی باشد، ثابت کنید $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ نیز بر $(۰,\infty )$ نزولی است.
پاسخ:
همانطور که می‌دانیم، یکی از راه‌های اثبات نزولی (یا صودی) بودن توابع بررسی تابع مشتق آن‌هاست. در این مسئله نزولی بودن تابع $g$ را باید بررسی کنیم. در نتیجه اگر ثابت کنیم تابع مشتق آن مثبت نیست، حکم مسئله ثابت شده است. داریم:
${g}'(x)={(\frac{f(x)}{x})}’=\frac{{f}'(x).x-f(x)}{x^{2}}$
حال با توجه به نامنفی بودن $x^{2}$ و حکم مسئله که گفتیم باید ثابت کنیم تابع مشتق، مثبت نباشد، باید ثابت کنیم که ${f}'(x).x-f(x)\leq 0$ و این نتیجه می‌دهد که ثابت کنیم ${f}'(x)\leq \frac{f(x)}{x}$. قابل ذکر است که دلیل ضرب کردن $x$ در طرفین نامعادله، مثبت بودن $x$ طبق فرض مسئله است. حال به ازای $x$ در بازه‌ی فرض سوال، طبق قضیه‌ی مقدار میانگین، می‌دانیم $c$ در بازه‌ی $(۰,x)$ وجود دارد به طوری‌که:
$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}={f}'(c)\xrightarrow[]{f(0)=0}\frac{f(x)}{x}={f}'(c)$
حال می‌دانیم که $c$ کوچکتر از $x$ می‌باشد و طبق نزولی بودن تابع مشتق $f$ در نتیجه داریم ${f}'(c)\geq {f}'(x)$. الان حکم مسئله‌مان ثابت شده است، چرا که:
${f}'(c)=\frac{f(x)}{x}\geq {f}'(x)$.
تمرین اول
منحنی $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ را درنظز بگیرید. از نقطه‌ی دلخواه $(x_{0},y_{0})$ روی این منحنی، مماسی بر این منحنی رسم میکنیم تا محورهای $x$ و $y$ را در $(a,0)$ و $(۰,b)$ قطع کند. نشان دهید مقدار $a+b$ به نقطه‌ی اولیه وابسته نیست.
راهنمایی:
اگر مشتق منحنی نسبت به $x$ را به‌دست آوریم و نقطه‌ی مربوطه را جایگذاری کنیم، شیب مربوطه به دست می‌آید و با آن معادله خط مربوطه را تشکیل می‌دهیم و به سادگی $a$ و $b$ را به‌دست می‌آوریم و در نتیجه خواهیم دید جمع این دو برابر خواهد بود با $x_{0}+y_{0}+2\sqrt{x_{0}y_{0}}$ که با توجه به معادله‌ی منحنی، چون $(x_{0},y_{0})$ در معادله‌ی منحنی صدق می‌کند، این مقدار برابر با ۱ خواهد بود.
تمرین دوم
فرض کنید تابع $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ پیوسته باشد و روی $(۰,۱)$ دوبار مشتق پذیر باشد. اگر $f(0)=f(1)=0$ و همچنین داشته باشیم $f+2{f}’+{f}”\geq 0$ نشان دهید برای هر $x$ داخل دامنه‌ی $f$ داریم $f(x)\leq 0$.
راهنمایی:
اول از همه، تابعی جدبد تعریف میکنیم به طوری‌که $g(x)=e^{x}.f(x)$. آنگاه خواهیم دید مشتق دوم این تابع جدید، طبق فرض مسئله و مثبت بودن توابع نمایی، نامنفی خواهدبود. ادامه‌ی حل این مسئله دقیقا مشابه با حل مثال یافتن اکسترمم از این مقاله خواهدبود.
تمرین سوم
حجم یک بادکنک کره‌ای شکل، با آهنگ یک سانتی‌متر مکعب در ثانیه در حال افزایش است؛ آهنگ افزایش شعاع آن چقدر است؟
راهنمایی:
با توجه به فرمول حجم برای اشکال کروی، مشتق طرفین معادله نسبت به زمان را نوشته و طبق داده‌های مسئله، مشتق شعاع نسبت به زمان که همان حکم مسئله است را به‌دست می‌آوریم.
توچه: جواب به صورت پارامتری و نسبت به شعاع بادکنک به‌دست می‌آید.
تمرین چهارم
دو عدد $۳^{\pi}$ و $\pi^{3}$ را مقایسه کنید. کدام بزرگتر است؟
راهنمایی:
برای حل این سوال، تابع $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$ را بررسی میکنیم. شاید برایتان سوال باشد که چرا؟ یا اینکه چگونه این ایده به ذهن‌مان برسد؟ خب اگر ما $a> 0$ و $b> 0$ داشته باشیم و $a^{b}> b^{a}$ داریم:
$a^{b}> b^{a}\Rightarrow b.ln(a)> a.ln(b)\Rightarrow \frac{ln(a)}{a}> \frac{ln(b)}{b}$
این نتیجه‌ای که به‌دست آمد، شبیه بررسی کردن صعودی بودن یا نزولی بودن همان تابع $f(x)$ که تعریف کردیم می‌باشد. حال می‌توانید با استفاده از کاربردهای مشتق، به راحتی به نامساوی $۳^{\pi}> \pi^{3}$ برسید.
In general, an essay can be written very cheaply, but only https://www.affordable-papers.net/ in case you understand what you are doing.
جات تو قلبه