قضیه مقدار میانی یکی از مهم‌ترین و جذاب‌ترین و در عین سادگی، از کاربردی‌ترین قضایا در مبحث پیوستگی از مباحث ریاضی عمومی ۱ دانشگاه می‌باشد. در این مقاله از فنولوژی در مورد قضیه مقدار میانی و قضیه بولتزانو به طور کامل توضیح می‌دهیم.
صورت قضیه مقدار میانی
صورت قضیه به شرح زیر است:
هرگاه تابع $f(x) $ بر بازه‌ی $[a,b]$ پیوسته باشد و $s $ عددی بین $f(a)$ و $f(b)$ باشد، آنگاه عددی مانند $\beta $ در $[a,b]$ وجود دارد به طوری که $f(\beta ) =s $.
صورت قضیه بولتزانو
در قضیه مقدار میانی شرط پیوستگی تابع برای ما بسیار اهمیت دارد. حال، مهم‌ترین نتیجه‌ای که می‌توان از قضیه مقدار میانی به دست آورد، با نام قضیه بولتزانو شناخته می‌شود که در اصل می‌توان گفت حالتی خاص از قضیه مقدار میانی است که در زیر به شرح آن می‌پردازیم:
در قضیه ی بولتزانو برای ما پیدا کردن نقطه ای از تابع اهمیت دارد که در آن مقدار تابع برابر صفر باشد. به همین خاطر این قضیه می‌گوید که اگر تابع $f(x) $ بر بازه ی $[a,b]$ پیوسته باشد و $f(a).f(b)<0$ باشد آنگاه حتما عددی مانند $c $ در $[a,b]$ وجود دارد به طوری که $f(c)=0$.
این نتیجه به این خاطر مهم است که در اکثر مسائل (مربوط به این قضیه) به جای استفاده از اصل قضیه، از این نتیجه‌ی مهم آن بهره می‌گیریم.برای آشنایی با نحوه ی برخورد و حل مسائل این بخش، در ابتدا مثال های ساده و کاربردی و در ادامه چند مثال حل شده و تمرین پیشرفته تر برای افرادی که به صورت پیشرفته تری می‌خواهند با این قضیه آشنا شوند، به خصوص دانشجویان ترم اول دانشگاه ها که برای امتحانات خود می‌خواهند آماده شوند و یا حتی المپیادی ها، آورده ایم. توصیه می‌کنیم قبل از دیدن راه حل مثال‌های حل شده و راهنمایی های تمارین نیز اندکی خودتان روی آن ها تفکر نمایید و حداقل وقت پیشنهادی ما برای تفکر بر روی سوال‌ها ۳۰ دقیقه است. با ما همراه باشید….
مثال‌هایی از قضیه مقدار میانی
مثال۱
فرض کنید که به کوهنوردی رفته‌اید. وقتی که یک بار از کوه بالا می‌روید و سپس پایین می‌آیید، باید مطمئن باشید که از هر ارتفاع تا قله‌ی کوه به جز خود قله حداقل دو بار رد شده اید.
ما اینگونه برهان می‌کنیم که اگه مسیری که شما روی کوه طی می‌کنید را یک منحنی فرض کنیم، آنگاه این منحنی پیوسته خواهد بود؛ و شما در مسیر اولی که از زمین تا قله پیموده‌اید حد اقل یک بار از هر ارتفاعی تا قله رد شده اید. در مسیر بازگشت نیز، مسیری از قله تا زمین دارید و این یعنی باز هم هر ارتفاعی بین این دو را حداقل یک بار دیگر تجربه خواهید کرد؛ و این یعنی اینکه در مسیر رفت و برگشت شما، هر ارتفاعی از قله تا زمین به جز خود قله حداقل دوبار تجربه شده است.
اگر این برهان را با عبارات ریاضی بخواهیم بیان کنیم سطح زمین را $f(a)$ و قله را $f(b)$ در نظر می‌گیریم و می‌گوییم که اگر در مسیری پیوسته بخواهیم از سطح زمین به قله برویم لزوما باید از هر نقطه ای مانند $f(\beta )$ بین این دو حداقل یک بار گذر کنیم و چون یک مسیر رفت و یک برگشت داریم، این حداقل به عدد دو می‌رسد.
مثال۲
فرض کنید شما بخواهید ریشه‌های یک تابع را با تقریب خوبی به دست آورید. روشی وجود دارد که بدون محاسبات خاص و با داشتن تنها یک مقدار مثبت و یک مقدار منفی از آن تابع می‌توان تا حد خوبی به ریشه‌ی آن تابع نزدیک شد. این روش، روش جست‌وجوی دودویی یا به لاتین binary search نام دارد.
ما می‌دانیم طبق نتیجه‌ی قضیه مقدار میانی، بین هر دو مقدار مثبت و منفی یک تابع، حتما حداقل یک ریشه خواهیم داشت. روش جست‌وجوی دودویی به ما می‌گوید که اگر دو مقدار مثبت و منفی تابع $f(x)$ مانند $f(a)> 0$ و $f(b)< 0$ در نظر بگیریم آنگاه مقدار تابع در نقطه‌ی میانی آن دو عدد یعنی $\frac{a+b}{2}$ را نیز محاسبه می‌کنیم. حال با توجه به علامت $f(\frac{a+b}{2})$ مراحل بعدی را پیش می‌بریم. اگر این مقدار مثبت باشد عدد $\frac{a+b}{2}$ را با $b$ و اگر منفی باشد با $a$ به مرحله‌ی بعد می‌بریم و می‌بینیم که در هر مرحله ما نیاز به یک مقدار مثبت و یک مقدار منفی از تابع داریم تا مطمئن باشیم ریشه‌ی تابع بین آن دو می‌باشد. و اگر همین‌طور بازه‌ی بین $a$ و $b$ را نصف کنیم همین‌طور نزدیک و نزدیک‌تر به عددی می‌شویم که مقدار تابع در آن نقطه برابر صفر است و اگر هم به آن دقیقا نرسیم، حداقل می‌توان مطمئن بود که آن را با تقریب بسیار خوبی یافته‌ایم!
مثال۳
فرض کنید $f(x)$ یک تابع پیوسته بر بازه ی $[۰,۱]$ بوده و $f(0)=f(1)$ باشد. نشان دهید که عددی مانند $c$ در بازه ی $[۰,\frac{1}{2}]$ وجود دارد به طوری که $f(c)=f(c+\frac{1}{2})$ .
راه حل:
یکی از رایج‌ترین ایده‌ها در حل تساوی‌های تابعی مثل $g(x)=f(x)$ ساختن تابعی جدید مانند $h(x) $ از تفاضل آن‌هاست و در ادامه ثابت کردن صفر‌دار بودن یا همان ریشه‌دار بودن تابع $h(x)=g(x)- f(x)$ است که هم ارز با حکم اولیه ی ما است. در اینجا هم اگر تابع جدیدی مانند $g(x)=f(x+\frac{1}{2})-f(x)$ بسازیم و ثابت کنیم که $g(x) $ در بازه‌ی $[۰,\frac{1}{2}]$ دارای ریشه است، مسئله حل شده است(چرا؟). دامنه‌ی تابع $f$ برابر $[۰,۱]$ بود؛ در نتیجه دامنه‌ی تابع جدید g برابر با $[۰,\frac{1}{2}]$ خواهد بود(چرا؟). همچنین می‌دانیم که جمع یا تفریق دو تابع پیوسته نیز پیوسته است. یعنی چون $f(x) $ پیوسته است $f(x+\frac{1}{2})$ نیز پیوسته است و در نتیجه $g(x)=f(x+\frac{1}{2})-f(x)$ پیوسته خواهد بود. پس مهم‌ترین شرط ما در قضیه مقدار میانی برقرار است.
حال اگر ثابت کنیم دو عدد مانند a و b در بازه ی $[۰,\frac{1}{2}]$ وجود دارد به طوری که $g(b).g(a)<0$ آنگاه طبق نتیجه‌ی قضیه مقدار میانی می‌توان نتیجه گرفت عددی بین $a$ و $b$ مانند $c$ وجود دارد به طوری که $f(c+\frac{1}{2})-f(c) = g(c)=0$ که حکم مسئله را نتیجه می‌دهد. بهترین کار، بررسی مقدار $g$ در نقاط ابتدایی و انتهایی دامنه اش است:
شرایط اولیه مسئله:
$g(0)=f(0+\frac{1}{2})-f(0)=f(\frac{1}{2})-f(0)$
$g(\frac{1}{2})=f(1/2+\frac{1}{2})-f(\frac{1}{2})=f(1)-f(\frac{1}{2}) $
$f(0)=f(1) $ : طبق فرض اولیه صورت سوال
حال با توجه به نتیجه‌های به دست آمده در بالا سه حالت پیش می‌آید:
- حالت اول : اگر $g(0)=0$ آنگاه $f(\frac{1}{2})=f(0)$ و مسئله در این حالت حل شده است.
- حالت دوم: اگر $g(\frac{1}{2})=0$ آنگاه $f(0)=f(\frac{1}{2})$ و مسئله در این حالت نیز حل شده است.
- حالت سوم: اگر $g(0)$ و $g(\frac{1}{2})$ هیچ‌کدام صفر نباشند از لحاظ علامت، قرینه یکدیگر خواهند بود(چرا؟). در نتیجه داریم $g(0).g(\frac{1}{2})<0$ و حالا ما می‌توانیم از نتیجه‌ی قضیه مقدار میانی که در بالا آوردیم نتیجه بگیریم که تابع g در بازه $[۰,\frac{1}{2}]$ دارای صفر یا همان ریشه می‌باشد و چون داشتیم $g(x)=f(x+\frac{1}{2})-f(x)$ یعنی وجود دارد عددی مانند c در بازه $[۰,\frac{1}{2}]$ که $g(c)=f(c+\frac{1}{2})-f(c)=0$ و این عبارت نتیجه می‌دهد $f(c+\frac{1}{2})=f(c)$ که همان حکم مسئله است.
تمرین۱
مثال بالا را در حالت کلی ثابت کنید. یعنی اگر $n$ عدد صحیح بزرگ تر از $۲$ باشد ثابت کنید که عددی مانند $a$ در بازه ی $ [۰,۱-\frac{1}{n}]$ وجود دارد به طوری که $ f(a)=f(a+\frac{1}{n})$.
راهنمایی:
اگر برای $n=3$ اثبات کنید، روش اثبات کلی را خواهید یافت و ایده‌ی حل هم مشابه ایده‌ی به کار رفته در مثال سوم است!
مثال۴
فرض کنید تابع $f$ روی بازه‌ی $[۰,۱]$ پیوسته است و برای هر $x$در این بازه داریم $ ۰\leq f(x)\leq 1$. نشان دهید عدد ثابت $c$ در این بازه یافت می شود که $f(c)=c$.
راه حل:
در این مسئله نیز باز ما یک تساوی تابعی می‌خواهیم اثبات کنیم که آن $f(c)=c$ است و ما اگر تابع $g(x)$ را همانند مثال قبلی به صورت $g(x)=f(x)-x$ تعریف کنیم و ثابت کنیم که $g(x)$ دارای ریشه است، مسئله حل شده است. در اینجا تابع $g(x)$ نیز پیوسته می باشد. زیرا طبق فرض مسئله $f(x)$ پیوسته بر بازه دامنه اش است و $h(x)=x$ نیز می‌دانیم تابعی پیوسته است و در نتیجه تفاضل این دو که همان تابع جدید $g$ است، بر بازه دامنه‌اش یعنی همان دامنه $f(x)$ پیوسته می‌باشد. حالا باز می‌آییم و مقدار تابع جدیدمان را در نقاط ابتدایی و انتهایی دامنه حساب می‌کنیم:
$g(0)=f(0)-0=f(0)$
$g(1)=f(1)-1$
حالا چند گام در جهت پیشبرد مسئله باید انجام دهیم که در زیر می‌آوریم:
- گام اول: اگر فرض کنیم $f(0)=0$ آنگاه مسئله ما حل شده است. پس فرض را بر این می‌گذاریم که $f(0)\neq 0$ و این با توجه به فرض مسئله که $ ۰\leq f(x)\leq 1$بود نتیجه می‌دهد که $f(0)> 0$ و چون $g(0)=f(0)$بود؛ یعنی $g(0)>0$.
- گام دوم: اگر فرض کنیم $f(1)=1$نیز به خواسته مسئله رسیده‌ایم. پس فرض می‌کنیم که $f(1)\neq 1$ و طبق فرض مسئله در صورت سوال که در گام اول هم از آن استفاده کردیم خواهیم داشت $f(1)< 1$ و این نامساوی به این معناست که $g(1)=f(1)-1< 0$ و به طور مختصر تر$g(1)< 0$.
$\Leftarrow $ حالا اگر دقت کنید در گام های حل مسئله به $g(0)>0$ و $g(1)<0$ رسیدیم که مسئله را باز هم با توجه به نتیجه‌ی قضیه مقدار میانی حل خواهد کرد. با توجه به نا مساوی‌های حاصل می‌توان نوشت $g(1).g(0)< 0$ و چون تابع در این بازه پیوسته بود، طبق نتیجه قضیه مقدار میانی می توان نشان داد که تابع $g(x)$ حتما دارای ریشه‌ای مانند $c$ در بین $۰$ و $۱$ خواهد بود و این یعنی $c$ وجود دارد که $g(c)=f(c)-c=0$ و این همان حکم مسئله‌مان می‌باشد چرا که نتیجه می دهد $f(c)=c$.
تمرین۲
فرض کنید تابع $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ پیوسته است و اعداد حقیقی $x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}$ وجود دارند به طوری که
$f(x_{i})=x_{i+1}$ به ازای $i=1,2,3$ برقرار است و همچنین $f(x_{4})=x_{1}$. ثابت کنید اعداد حقیقی $c_{3}< c_{2}< c_{1}$ وجود دارند به طوری که $f(c_{1})=c_{1}$ و $ff(c_{2})=c_{2}$ و $fff(c_{3})=c_{3}$.
راهنمایی:
سعی کنید $f(x_{i})$ ها را بنویسید و باز هم ایده‌ی رایج $g(x_{i})=f(x_{i})-x_{i}$ را به کار ببندید و با استفاده از نتیجه قضیه مقدار میانی صفر دار بودن $g(x_{i})$ را ثابت کرده و حکم اصلی را نتیجه بگیرید. و همین کار را جداگانه برای توابع $ff(x_{i})$ و $fff(x_{i})$ انجام دهید و سعی کنید از نا مساوی‌های فرض مسئله نیز کمک های خوبی بگیرید.
تمرین۳
فرض کنید $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ تابعی پیوسته باشد و $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ نقاطی در فاصله‌ی $[a,b]$ باشند. نشان دهید عددی مانند $c$ از بازه‌ی $[a,b]$ وجود دارد به طوری که:
$\frac{1}{2}n(n+1)f(c)=f(x_{1})+2f(x_{2})+…+nf(x_{n})$
راهنمایی:
به راحتی می‌توان دریافت که $۱+۲+…+n=\frac{1}{2}n(n+1)$ می‌باشد و حکم مسئله را به یافتن $c$ به شرط $f(c)=\frac{f(x_{1})+2f(x_{2})+…+nf(x_{n})}{1+2+…+n}$ تغییر می‌دهیم. حال اگر نامساوی زیر را ثابت کنید، می‌توان طبق پیوسته بودن $f$ و قضیه بولتزانو نتیجه گرفت که عددی مانند $c$ وجود خواهد داشت:
$f_{min}(x_{i})\leq \frac{f(x_{1})+2f(x_{2})+…+nf(x_{n})}{1+2+…+n}\leq f_{max}(x_{i})$
The first concept should be that you
There are several approaches to improve your documents and also make them https://www.affordable-papers.net/ attractive and saleable.
have enough information before you to give a very clear description of the topic.
سلام خیلی ممنون از توضیحات خوبتون
اگه مثل سایت فرادرس آموزش ویدئویی هم قرار بدین خیلی عالی میشه