در این نوشته از فنولوژی به بررسی و اثبات قضیهی گلدباخ اویلر که به قضیهی گلدباخ نیز مشهور است، می‌پردازیم. این قضیه، قضیه‌ای در نظریه اعداد و به‌طور دقیق‌تر از قضایای مربوط به سری‌های نامتناهی، سری‌های معکوس‌ها (Sums of reciprocals) و توان‌های کامل است.
تاریخچه‌ی قضیهی گلدباخ اویلر
این قضیه مانند بیش‌تر کارهای مشترک اویلر و گلدباخ، حاصل نامه‌نگاری‌هایی است که بین آن‌ها صورت گرفته است تا در نهایت به شکل این قضیه در آمده است. بخش قابل توجهی از کارهای گلدباخ در مورد توان‌های کامل بوده است؛ همچنین بخشی از کارهای اویلر در نظریه اعداد، کارهایی است که در مورد سری‌های نامتناهی، از جمله سری‌های نامتناهی که در آن‌ها معکوسِ مقادیری خاص مورد توجه است، انجام شده است.
این قضیه، اولین قضیه از مقاله‌ی «Variæ observationes circa series infinitas» می‌باشد که در سال ۱۷۳۷ توسط اویلر منتشر شد و تصویری که در ابتدای این پست دیدید، قسمتی از همین مقاله است. می‌توانید نسخه‌ی کامل این مقاله را به زبان‌های انگلیسی و آلمانی از اینجا تهیه کنید. در قسمت ابتدایی و مقدمه‌ی این مقاله، اویلر ذکر می‌کند که سری‌های موجود در این مقاله اندکی با سری‌هایی که تاکنون بررسی شده است، فرق دارند؛ به این دلیل که سری‌های قبلی که مورد بررسی بوده‌اند، جمله‌هایی داشته‌اند که یا با یک جملهی عمومی قابل بیان بود، یا حداقل وضعیت توزیع آن‌ها آن‌قدر واضح بوده که با دیدن چند جملهی اول، امکان تشخیص بقیه‌ی جمله‌ها نیز وجود داشته است. احتمالاً منظور اویلر از توضیحاتی که در مورد سری‌های قبل‌تر از این مقاله داده است این بوده که مثلاً در سری معکوس توان‌های طبیعیِ عدد دو، می‌توان سری را به‌صورت $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}$ نوشت که با یک جملهی عمومی از سری، متوجه جملات سری می‌شویم یا اگر چند جملهی اول آن را ببینیم باز هم به راحتی متوجه کل سری می‌شویم.
بعد از بیان صورت قضیه شاید فکر کنید که سری موجود در این قضیه هم مانند مثالی است که در بالا زدیم ولی خواهیم دید که چرا این سری را نمی‌توان با نمایش ساده‌ای بیان کرد.
اویلر، در مقاله‌ی خود، پس از اشاره به این که طی نامه‌نگاری‌‌هایش با گلدباخ متوجه این قضیه شده است، با ابراز احترام فراوان به او، صورت قضیه و اثبات گلدباخ را می‌نویسد. (دلیل این که این قضیه اولین قضیه از این مقاله بوده است نیز، قدرشناسی او نسبت به گلدباخ است.)
برخی مفاهیم مقدماتی قضیهی گلدباخ اویلر
قبل از بیان صورت و اثبات قضیهی گلدباخ اویلر، چند نکته‌ی مقدماتی که احتمالاً آن‌ها را دیده‌اید، مرور می‌کنیم.
عدد توان کامل
منظور از «توان کامل»، عددی است که بتوان آن را به فرم $a^{b}$ نوشت، به شکلی که $a$ و $b$ اعدادی صحیح و بزرگ‌تر از دو باشند. در برخی موارد عدد یک را نیز به عنوان توان کامل حساب می‌کنند. عدد $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}… p_{k}^{\alpha _{k}}$ که $p_{i}$ ها اعدادی اول و $\alpha _{i}$ اعدادی صحیح و نامنفی اند، توان کامل است، اگر و تنها اگر ۱<$GCD (\alpha _{1},\alpha _{2},..,\alpha _{k})$. منظور از GCD همان ب.م.م یا بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (Greatest Common Divisor) بین این اعداد است. فرض کنید که $\beta$ عددی بزرگ‌تر از یک باشد و داشته باشیم:
$GCD (\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{k})=\beta $
آنگاه همه‌ی $\frac{\alpha _{i}}{\beta }$ ها صحیح خواهند بود؛ پس می‌توان $n$ را به صورت زیر نیز نوشت:
$n=(p_{1}^{\frac{\alpha _{1}}{\beta }} p_{2}^{\frac{\alpha _{2}}{\beta }}…p_{k}^{\frac{\alpha _{k}}{\beta }})^{\beta }$
که اگر $m=p_{1}^{\frac{\alpha _{1}}{\beta }} p_{2}^{\frac{\alpha _{2}}{\beta }}…p_{k}^{\frac{\alpha _{k}}{\beta }}$ آنگاه $n$ به‌صورت $m^{\beta }$ نوشته شده است؛ در نتیجه توان کامل است. عکس این گزاره نیز به همین ترتیب اثبات می‌شود.
تکرار توان‌های کامل: نکته‌ای مهم در قضیهی گلدباخ اویلر
واضح است که برخی از اعداد ممکن است به چندین طریق به فرم توان کامل نوشته شوند؛ برای مثال $۶۴=۲^{۶}=۴^{۳}=۸^{۲}$. این نکته در قضیهی گلدباخ اویلر بسیار مهم است چون باید مشخص شود که اگر قرار است با سری‌هایی مربوط به توان‌های کامل کار کنیم، می‌خواهیم تکرارها را نیز لحاظ کنیم یا نه. فرض کنید که می‌خواهیم جمع معکوس توان‌های کامل را محاسبه کنیم؛ اولین سوال این خواهد بود که مثلاً عدد $\frac{1}{64}$ فقط یک بار می‌آید یا سه بار. در قضیهی گلدباخ اویلر این تکرارها لحاظ نشده است.
سری هارمونیک
قضیهی گلدباخ اویلر وابستگی زیادی به سری $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}$ دارد که به سری هارمونیک مشهور است. درواقع سری هارمونیک نقطه‌ی شروع اثبات این قضیه است. در ابتدای اثبات خواهیم دید که:
$x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…$
و سپس از $x$ استفاده می‌شود. از آنجا که سری هارمونیک واگراست، خیلی درست نیست که چنین کاری انجام شود؛ چون $x$ یک عدد حقیقی نیست بلکه $\infty $ است؛ در نتیجه اثبات گلدباخ با توجه به استانداردهای امروزی خیلی دقیق نیست ولی انجام چنین کارهایی با سری‌های واگرا در قرن ۱۷ و ۱۸ مرسوم بوده است که امروزه دیگر اثبات دقیق به حساب نمی‌آیند و به روش‌های غیر استاندارد آنالیز (nonstandard analysis) معروف‌اند.
سری‌های هندسی نامتناهی
یکی از ابزارهای دیگری که در اثبات این قضیه به‌کار رفته است، سری‌های هندسی نامتناهی بوده است. فرض کنید $a_{1}, a_{2},a_{3},…$ یک دنباله‌ی هندسی با نامتناهی جمله و قدر نسبت $q$ باشد که $\left | q \right |< 1 $؛ در این صورت می‌توان مجموع جملات این دنباله را به صورت زیر محاسبه کرد:
$\sum_{i=1}^{\infty }a_{i}=\frac{a_{1}}{1-q}$
که در اثبات قضیهی گلدباخ اویلر، نامتناهی بار از این نکته استفاده شده است.
صورت قضیهی گلدباخ اویلر
حال که همه‌ی نکات ابتدایی را می‌دانیم، به بیان صورت این قضیه می‌پردازم.
قضیهی گلدباخ اویلر: سری زیر با نامتناهی جمله را در نظر بگیرید:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26} $
$+\frac{1}{31}+\frac{1}{35}+…$
که در آن، اگر مخرج هر کسر با عدد یک جمع شود، یک توان کامل خواهد بود. به عبارتی، هر کدام از جمله‌ها به صورت $\frac{1}{m^{n}-1}$، قابل بیان هستند که $m$ و $n$ اعدادی صحیح و بزرگ‌تر از یک هستند. حاصل این سری برابر با «یک» خواهد بود.
به این نکته توجه کنید که هیچ کسری بیش از یک بار در این سری ظاهر نشده است. مثلاً با وجود این که $\frac{1}{15}=\frac{1}{2^{4}-1}=\frac{1}{4^{2}-1}$ ، اما $\frac{1}{15}$ تنها یک بار در این سری ظاهر شده است. با توجه به این نکته، «نمی‌توانیم» این سری را به صورت‌های زیر بیان کنیم:
$\sum_{m,n>2}^{\infty }\frac{1}{m^{n}-1}= \sum_{m=2}^{\infty } \sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{m^{n}-1} $
به این دلیل که این سری، تکرار ها را نیز لحاظ می‌کند. شاید به همین دلیل اویلر می‌گوید که سری‌هایی مانند این، اندکی با سری‌های پیشین تفاوت دارند. امروزه معمولاً این سری را به صورت $\sum_{P:\: perfect\;power}^{}\frac{1}{P-1}$ نمایش می‌دهند (خود اویلر در نوشته‌اش از چنین نمادی استفاده نکرده است).
با توجه به این نکات می‌توان صورت قضیه را به صورت زیر بیان کرد:
$ \sum_{P\, :\: perfect\;power}^{}\frac{1}{P-1}=1$
اثبات قضیهی گلدباخ اویلر
فرض کنید $ x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\, …$. با توجه به آنچه درباره‌ی سری‌های هندسی نامتناهی گفتیم، می توان نوشت:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$
حال اگر این رابطه را از رابطه‌ی قبل‌تر کم کنیم، خواهیم داشت:
$ x-1=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+…$
که همه‌ی جمله‌هایی که توان‌های عدد دو را در مخرج خود داشتند، حذف شده‌اند. همچنین داریم:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+…=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$
با کم کردن این سری از سری قبلی‌اش خواهیم داشت:
$ x-1-\frac{1}{2}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}$
$+\frac{1}{11}+…$
که همه‌ی جمله‌هایی که توان‌های عدد سه را در مخرج خود داشتند، حذف شده‌اند. همچنین داریم:
$\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+…=\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}$
با کم کردن این سری از سری قبلی‌اش خواهیم داشت:
$ x-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=1+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}$
$+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+…$
که همه‌ی جمله‌هایی که توان‌های عدد پنج را در مخرج خود داشتند، حذف شده‌اند. توجه کنید که ما، سری هندسی با جملهی اولیه‌ی $\frac{1}{4}$ را از سری قبلش کم نکردیم چون $\frac{1}{4}$ و دیگر جمله‌های دنباله‌ی $\frac{1}{4},\frac{1}{16},\frac{1}{64},…$ قبلاً حذف شده‌اند.
با ادامه‌ی نامتناهی بار روندی که درحال انجامش هستیم، خواهیم داشت:
$ x-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{9}-…=1 \; (*) $
از آنجا که هر جمله‌ای را که توان‌های اعداد دو، سه، پنج، شش، هفت و … را در مخرج خود داشته است، حذف کردیم، طبیعیتاً سمت راست تساوی بالا برابر یک شده است. همچنین در سمت چپ، قرینه‌ی تمام جمله‌های سری هارمونیک وجود دارد به جز آن‌هایی که فرم $\frac{1}{P-1}$ داشته‌اند؛ یعنی جملات مورد نظر ما در این قضیه. اما سوال این است که چرا قرینه‌ی این جملات در سمت چپ وجود ندارد.
جواب به این سوال ساده است. جملات منفی که در سمت چپ تساوی بالا وجود دارند، در واقع حاصل همان سری‌های هندسی نامتناهی بوده‌اند. همان طور که ذکر کردیم، سری‌های هندسی که با جملاتی شروع می‌شوند که قبلاً حذف شده‌اند، دیگر از سری قبلی خود کم نمی‌شوند؛ اما حاصل این سری‌ها چه چیزی است؟ چند نمونه از این سری ها را ببینید:
$ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+…=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4-1}{4}}=\frac{1}{4-1}$
$ \frac{1}{8}+\frac{1}{64}+\frac{1}{512}+…=\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{8-1}{8}}=\frac{1}{8-1}$
$ \frac{1}{9}+\frac{1}{81}+\frac{1}{729}+…=\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{9-1}{9}}=\frac{1}{9-1}$
می‌بینید که مخرج حاصل این سری‌های هندسی، یکی کم‌تر از توان‌های کامل است. به طور کلی اگر $t$ یک توان کامل باشد، آنگاه سری هندسی نامتناهی به صورت $t^{-1},t^{-2}.t^{-3},…$ حاصلی برابر با $\frac{1}{t-1}$ خواهد داشت. حال که به این سوال هم جواب داده‌ایم، گام نهایی اثبات را برمی‌داریم. کافی است تساوی * را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
$ x-1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+…$
حال اگر همان سری مورد نظر یعنی $\sum_{P:\: perfect\;power}^{}\frac{1}{P-1}$ را به دو طرف تساوی بالا اضافه کنیم، سری هارمونیک در سمت راست ظاهر می‌شود و خواهیم داشت:
$ x-1+\sum_{P:\: perfect\;power}^{}\frac{1}{P-1}=x$
پس در آخر ثابت می‌شود که
$ \sum_{P\, :\: perfect\;power}^{}\frac{1}{P-1}=1$
چند نکته درباره‌ی قضیهی گلدباخ اویلر
حال که اثبات قضیه را دیدیم، چند نکته که مختصراً ذکر کردیم، واضح‌تر می‌شوند. همان طور که گفته شد، سری هارمونیک که در اثبات $x$ گرفته شده است، واگراست. در نتیجه $x$ نه یک مقدار حقیقی، بلکه بی‌نهایت است. این در چند جای اثبات اشکالاتی به وجود می‌آورد؛ برای مثال از آنجا که $x$ بی‌نهایت است، می توان در هر مرحله از اثبات، حاصل تفریق یک عدد از $x$ را برابر با همان $x$ گذاشت؛ مثلاً می‌توان نوشت $x-1=x$. به همین دلیل است که گفتیم این اثبات در استانداردهای امروزی دقیق نیست یا حتی نادرست است؛ البته درستی قضیهی گلدباخ اویلر با اثبات‌های کاملاً استاندارد امروزی نیز قابل اثبات است که در جای دیگری به آن خواهیم پرداخت.
نکته‌ی دیگری که چند بار بر آن تاکید شد، عدم تکرار جملات در سری است. حال که اثبات را دیدیم، این موضوع واضح‌تر می‌شود. جالب است که گلدباخ قضیهی دیگری در مورد توان‌های کامل دارد که جمع معکوس توان‌های کامل را حساب می‌کند. طبق آن قضیه، داریم:
$\sum_{m,n>2}^{\infty }\frac{1}{m^{n}}= \sum_{m=2}^{\infty } \sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{m^{n}} $
که برخلاف قضیهی قبل، در این قضیه جملات تکرار شده است. مسلماً جمع معکوس توان‌های کامل بدون تکرار نمی‌تواند برابر با یک باشد؛ چون هر جملهی این سری از هر جملهی سریِ مربوط به قضیهی گلدباخ اویلر، کوچک‌تر است. جمع معکوس توان‌های کامل بدون تکرار نیز برحسب تابع موبیوس و زتای ریمان قابل بیان است و مقدار تقریبی آن هم $\small \left. 0.874464368 \right.$ می‌باشد.
تاثیر این قضیه بر اویلر
وقتی به بقیه‌ی کارهای اویلر در همین مقاله نگاه می‌کنیم، به راحتی متوجه تاثیر این قضیه بر او می‌شویم؛ چه از نظر صورت قضیه و چه از نظر ایده‌ی اثبات گلدباخ. بعد از این قضیه، بلافاصله دو قضیه در این مقاله آمده که هر دو مستقیماً به توان‌های کامل ارتباط دارد. در یکی از قضایا همان سری قضیهی اول را محاسبه می‌کند؛ با این تفاوت که توان‌های کاملی را در نظر می‌گیرد که توان آن‌ها زوج است. در قضیهی بعد نیز همین مقدار را برای توان‌های فرد حساب می‌کند (واضح است که حاصل جمع این دو مقدار، برابر با همان یک می‌باشد).
همچنین در همین مقاله، قضیه‌ای وجود دارد که به «فرمول ضربی اویلر برای تابع زتای ریمان» مشهور است. روش اثبات آن قضیه نیز بسیار شبیه به همین قضیه است؛ از این جهت که یک عمل، نامتناهی بار پشت سرهم انجام می‌شود. تفاوت کوچک میان اثبات آن قضیه و اثبات گلدباخ در این است که آنجا به جای تفریق های متوالی، ضرب‌های متوالی انجام می‌شود. البته در آن زمان به سری $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$ ، نماد $\zeta (s)$ که امروزه به زتای ریمان معروف است، نسبت داده نشده بود.
