دایره یکی از اشکال هندسی است که اثر آن از دیرباز در آثار هنری، سازه‌ها و محیط پیرامون دیده شده است. گاهی اوقات پیش می‌آید که در امور مهندسی یا فنی نیاز داریم تا محیط دایره را محاسبه کنیم. برای مثال فرض کنید می‌خواهیم دور تا دور یک میدان را جدولبندی کنیم. برای به دست آوردن محیط میدان باید بتوانیم محیط دایره را محاسبه کنیم. در این مقاله از فنولوژی، رابطه‌ای که برای محاسبه محیط دایره به کار می‌رود را اثبات می‌کنیم. با ما همراه باشید.
دایره چیست؟
دایره را می‌توان مجموعه نقاطی در نظر گرفت که از یک نقطه خاص که «مرکز دایره» نامیده می‌شود، فاصله یکسانی دارند. به این فاصله، اندازه شعاع دایره می‌گویند.
به بیانی دیگر، شعاع دایره پاره خطی است که یک سر آن مرکز دایره و یک سر دیگر آن بر روی محیط دایره قرار دارد. پس می‌توان نتیجه گرفت که هر دایره در صفحه با دو مشخصه شناخته می‌شود. مشخصه اول، مختصات مرکز دایره و مشخصه دوم، اندازه شعاع آن است.
محیط دایره را می‌توان به وسیله‌ی رابطه‌ی زیر محاسبه کرد. در این رابطه، r اندازه شعاع دایره است.
$P = 2\pi r$
محیط دایره را چگونه محاسبه کنیم؟ | اثبات
برای محاسبه محیط دایره، کافیست طول قوس منحنی آن را محاسبه کنیم. از حسابان می‌دانیم که هر دایره در صفحه که مختصات مرکز آن به صورت (a , b) باشد و اندازه شعاع آن نیز r باشد را می‌توان به صورت زیر نشان داد:
$x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$)
رابطه میان xها و yها تابعی را ایجاد نمی‌کند. اما روشی که در ادامه از آن استفاده می‌کنیم به انتگرال‌گیری نیاز دارد. لذا باید یک تابع پیوسته داشته باشیم.
رابطه‌ای که برای محاسبه طول قوس می‌گیریم به صورت زیر است. در این جا از اثبات این رابطه صرف‌نظر می‌کنیم و تنها از آن استفاده می‌کنیم. برای محاسبه طول قوس منحنی $f(x)$ از بازه‌ی a تا b رابطه زیر به کار گرفته می‌شود:
$\int_{a}^{b} \sqrt{(1 + ({f}'(x))^2)} dx$
در هنگام محاسبه محیط دایره مهم نیست که مرکز دایره در چه جایی واقع شده است و محیط دایره تنها و تنها به اندازه شعاع دایره واسته است. پس می‌توانیم برای سادگی مرکز دایره‌ی مورد نظرمان را روی مبدا محتصات قرار دهیم. یعنی:
$x^2 + y^2 = r^2$
حال اجازه دهید در ابتدا یک تابع بسازیم. برای این کار به صورت زیر عمل می‌کنیم.
$x^2 + y^2 = r^2$
$y^2 = r^2 – x^2$
$y = \pm \sqrt{r^2 – x^2}$
واضح است که رابطه به دست آمده تابع نیست. اما اگر فقط قسمت مثبت آن را در نظر بگیریم، آنگاه یک تابع پیوسته داریم. در نهایت اگر طول قوس تابعی که در بالا به دست آمد را روی بازه‌ی ۰ تا r به دست آوریم و سپس آن را چهار برابر کنیم (زیرا در این حالت طول قوس یک چهارم محیط را به دست آورده‌ایم)، محیط دایره به دست آمده است.
$f(x) = \sqrt{r^2 – x^2}$
از تابع $f(x)$ مشتق می‌گیریم:
${f}'(x) = – \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{ \sqrt{r^2 – x^2}}} $
سپس آن را به توان ۲ می‌رسانیم:
${f}'(x)^2 = \frac{\mathrm{x^2}}{\mathrm{r^2 – x^2}} $
حال توان دوم مشتق تابع f را در رابطه محاسبه طول قوس منحتی جای گذاری می‌کنیم:
$\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{4}} = \intop_{0}^{r} \sqrt{(1 + \frac{\mathrm{x^2}}{\mathrm{r^2 – x^2}}})dx$
$= \intop_{0}^{r} (\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{ \sqrt{r^2 – x^2}}})dx$
حال از تغییر متغیر برای حل انتگرال استفاده می‌کنیم.
$x = r\sin(t)$
$dx = r\cos(t)dt$
بازه انتگرال نیز از ۰ تا r به ۰ تا $ \frac{\mathrm{ \pi } }{\mathrm{2}} $ تغییر می‌یابد.
$ \frac{\mathrm{P} }{\mathrm{4}} = \intop_{0}^{r} (\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{ \sqrt{r^2 – x^2}}})dx$
$= \intop_{0}^{ \frac{\mathrm{ \pi } }{\mathrm{2}} } (\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{ \sqrt{r^2 – r^2 \sin^2(t)}}})r \cos (t)dt$
$= \intop_{0}^{ \frac{\mathrm{ \pi } }{\mathrm{2}} } (\frac{\mathrm{r^2}}{\mathrm{ r \cos (t)}}) \cos (t)dt$
$= \intop_{0}^{ \frac{\mathrm{ \pi } }{\mathrm{2}} } r dt$
حاصل انتگرال برابر خواهد بود با:
$ \frac{\mathrm{P} }{\mathrm{4}} = r . \frac{\mathrm{\pi } }{\mathrm{2}} $
طرفین تساوی را در عدد ۴ ضرب می‌کنیم تا محیط دایره به دست آید.
$P = 2 \pi r$
همچنین می‌توانید اثبات رابطه مساحت دایره را نیز مطالعه کنید.
مثال از محاسبه محیط دایره
فرض کنید مانند مثالی که در مقدمه آورده شد، قصد داریم محیط یک قسمت دایرهایشکل را محاسبه کنیم که شعاع آن ۳ متر است. طبق رابطه‌ای که به دست آوردیم، کافی است اندازه قطر را در عدد پی ضرب کنیم:
$S = 2.\pi . 3 = 6 \pi \backsimeq 18.85$
لذا محیط این دایره حدودا ۱۸.۸۵ متر است.
