کلاس درس/classroom

مساحت ذوزنقه چطور محاسبه می‌شود؟ | همراه با اثبات4 دقیقه مطالعه

هدیه فنولوژی به شما!

در محاسبات هندسی و برخی از کاربردهای مهندسی، گاهی اوقات پیش می‌آید که نیاز داریم مساحت یک ذوزنقه را محاسبه کنیم. در این مقاله از فنولوژی، به تشریح نحوه محاسبه ذوزنقه و ویژگی‌های آن می‌پردازیم. با ما همراه باشید.

ذوزنقه چیست انواع آن کدامند؟

ذوزنقه، یک چهارضلعی است که تنها دو ضلع موازی با یکدیگر دارد. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که مربع و مستطیل و به طور کلی متوازی‌الاضلاع‌ها، نمی‌توانند ذوزنقه باشند. به دو ضلعی که با یکدیگر موازی نیستند، ساق گفته می‌شود. اصلاع موازی با یکدیگر نیز قائده نام دارند.

مساحت ذوزنقه را می‌توان از رابطه‌ی زیر محاسبه کرد.

$S = \frac{1}{2} * h * (a + b)$

در این رابطه‌، a و b اندازه دو قاعده‌ی ذوزنقه و h نیز اندازه ارتفاع آن است. به شکل زیر توجه کنید.

ذوزنقه/trapezoid

برخی از حالات خاصی که در شکل ذوزنقه‌ها پدیدار می‌شود، نام‌های خاصی نیز دارند. ذورنقه متساوی‌الساقین و ذوزنقه قائم‌الزاویه مهم‌ترین آن‌ها هستند.

  • ذوزنقه متساوی‌الساقین: ساق‌های این ذوزنقه با یکدیگر برابر هستند.
  • ذوزنقه قائم‌الزاویه: این نوع ذوزنقه، یک زاویه قائمه دارد.

تصویر این دو ذوزنقه در شکل زیر آمده است. در ذوزنقه سمت راست، طول دو ساق MN و KL با یکدیگر برابر است. به همین دلیل به آن ذوزنقه متساوی‌الساقین گفته می‌شود. در سمت چپ نیز، زاویه H قائمه است. به همین دلیل به این ذوزنقه، ذوزنقه‌ی قائم‌الزاویه می‌گویند.

ذوزنقه/trapezoid

برخی از ویژگی‌های ذوزنقه متساوی‌الساقین

در ذوزنقه متساوی‌الساقین زاویه‌های مجاور به هر قاعده با هم برابر هستند. یعنی در شکل بالا زاویه L با زاویه M و همچنین زاویه K با زاویه N برابر هستند.

یکی دیگر از ویژگی‌های دوزنقه متساوی‌اساقین که بنا بر ویژگی حطوط موازی و مورب پدید می‌آید این است که در این ذوزنقه، مجموع زوایای دو زاویه روبرو به یکدیگر ۱۸۰ درجه است. بدین ترتیب با توجه به شکل بالا در ذوزنقه‌ی KLMN، مجموع زوایای L و N یا مجموع زوایای K و M برابر و مساوی با ۱۸۰ درجه است. همچنین اگر قطرهای این ذوزنقه را رسم کنیم و رابطه هم‌نهشتی مثلث‌ها را برای آن مثلث‌های KLM و LMN بنویسیم، به این نتیجه می‌رسیم که اندازه دو قطر با یکدیگر برابر است.

اثبات آن به صورت زیر است:

هدیه فنولوژی به شما!

$LM = LM$

$KL = MN$

$ \angle L = \angle M$

با توجه به این سه گزاره و برقراری حالت تساوی دوضلع و زاویه بین آن‌ها، دو مثلث KLM و LMN با هم هم‌نهشت هستند. پس:

$ \bigtriangleup KLM \cong \bigtriangleup LMN$

$ \Longrightarrow KM = NL$

پس قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین با هم برابر هستند. با هم برابر هستند.

مساحت ذوزنقه چگونه محاسبه می‌شود؟

برای محاسبه مساحت ذوزنقه به شکل زیر دقت کنید. این شکل یک ذوزنقه دلخواه را نشان می‌دهد که اندازه قاعده‌ی بزرگ‌تر آن a، اندازه‌ی قاعده‌ی کوچک‌تر آن b و اندازه‌ی ارتفاع آن نیز h است. می‌خواهیم یک رابطه کلی برای محاسبه مساحت ذوزنقه به دست آوریم.برای این کار، از نقاط A و B، دو ارتفاع بر ضلع CD رسم می‌کنیم. حالا ذوزنقه‌ی ما به سه شکل تفکیک می‌شود که می‌دانیم مساحت آن‌ها به چه صورت محاسبه می‌شود. در واقع برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید مساحت یک مستطیل و دو مثلث را به دست آوریم. هر قسمت را با یک عدد نشان داده‌ایم.

ذوزنقه/trapezoid

طبق شکل بالا می‌توان نوشت:

$S = S_1 + S_2 + S_3$

 

 

 

 

مساحت مستطیل که ناحیه شماره ۲ است، به صورت حاصل ضرب طول در عرض این مستطیل است. طول این مستطیل، a است. اندازه عرض نیز با برابر با ارتفاع ذوزنقه، یعنی h است. پس:

$S_2 = h * a$

حالا باید مساحت مثلث‌هایی که نواحی ۱ و ۳ را تشکیل داده‌اند محاسبه کنیم. نکته‌ای که باید در نظر بگیریم این است که این دو مثلث، ارتفاع‌های یکسانی دارند. می‌توان آن‌ دو را معادل با یک مثلث در نظر گرفت که قاعده‌ای به اندازه (b – a) دارد و ارتفاع نیز همان h است. بنابراین مساحت دو قسمت ۱ و ۳ برابر خواهد بود با:

$S_1 + S_3 = \frac{1}{2} * h * (b – a)$

به این ترتیب، مساحت کل ذوزنقه برابر خواهد بود با:

$ S = S_1 + S_2 + S_3$

$ =\frac{1}{2} * h * (b – a) + h * a$

$ = \frac{bh}{2} – \frac{ah}{2} + ah$

$ = \frac{bh}{2} + \frac{ah}{2}$

$ = \frac{1}{2} * h * (a + b)$

پس می‌توان فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه را حاصل ضرب مجموع دو قاعده در نصف ارتفاع در نظر گرفت:

$S = \frac{1}{2} * h * (a + b)$

در این مطلب آموختیم که ذوزنقه چیست و دو نمونه از ذوزنقه‌هایی که به دلیل شکل خاص خود، شناخته شده هستند را نیز بررسی کردیم. همچنین بر اساس رابطه‌ای که اثبات آن نیز ذکر شد، به این نتیجه رسیدیم که برای محاسبه مساحت ذوزنقه کافی است نصف اندازه ارتفاع آن را، در مجموع اندازه دو قاعده ضرب کنیم.

از یادگیری تا استخدام با دوره‌های متخصص سون‌لرن
عضویت
اطلاع از
0 دیدگاه‌ها
بازخورد در متن
دیدن همه دیدگاه‌ها

فنولوژی را در شبکه‌های اجتماعی دنبال کنید

©۲۰۲۰ – کلیه حقوق مادی و معنوی متعلق به فنولوژی است.